escher et le tour de l'infini: les mathématiques qui le rendent possible
Les Travaux des escher Appel Galerie d'enregistrement (1956) montre un dessin qui est répété en lui-même jusqu'au Infinite. Lorsque vous regardez l'image en détail, la figure se développe et se déforme, mais maintient une cohérence visuelle qui vous permet de la suivre étape par étape sans interruption.
Dans la scène, un homme regarde enregistrée dans une galerie; l'image se développe et devient les bâtiments du port de Senglea, Malte. Un de ces bâtiments s'avère être une autre galerie de gravures, où le protagoniste réapparaît. Donc le travail crée un recours ça ressemble à un scène pour s'enfoncer.
Un programmeur a ajouté a shader interactif qui permet d'arrêter l'image, de se déplacer à l'intérieur et à l'extérieur, et de montrer différents modes et guides mathématiques. L'idée est simple: une image contient une plus petite copie de lui-même jusqu'à la Infinite. La grâce n'est pas seulement en répétant l'image, mais en brisant la séparation entre les copies et en faisant de cette récursion une spirale continue.
Les mathématiques qui rendent cet effet possible coordonnées polaires, logarithmes complexes, exponentielle et Conformité qui gardent la forme locale des petits carrés. Le système de coordonnées est modifié, l'image est tournée et agrandie dans ce nouvel espace, puis elle est retournée à l'original.
La clé est comment le zoom est distribué. Vous pouvez travailler avec une version simple de 16 niveaux d'autosimilarité 16 fois; dans l'œuvre de escher peut être mesuré que la copie interne est 256 fois réduite. En passant l'image dans l'espace logarithmiqueque la réduction n'est plus zoom et il devient un simple déplacement latéral. Les fréquence angulaire apparaît comme une répétition verticale de 2ü.
De cette façon, fonctionnement que dans les coordonnées cartésiennes il serait un peu lisse devient quelque chose de plus propre: logarithme, rotation, Échelle et exponentielle. Le résultat final ne récite pas seulement l'effet visuel de eschermais explique aussi pourquoi son image semble être une solution élégante à un puzzle qui, bien que évident, ne semblait pas avoir de solution.
Comment fonctionne le tour de l'infini ?
Les travaux escher créer un recours où chaque copie C'est plus petit que le précédent. Lorsque vous utilisez coordonnées polaires et logarithmes, la réduction devient un déplacement latéral, éliminant la sensation de zoom.
les mathématiques derrière l'art
Ils s'appliquent Conformité, rotations et Échelle maintenir la forme locale des carrés. Les fréquence angulaire des 2ü permet de répéter l'image verticalement sans briser la cohérence.
Explorez le shader interactif
Avec shader interactifVous pouvez arrêter image et de passer à l'intérieur et à l'extérieur, voir différentes façons et guides qui illustrent comment recours et mathématiques derrière le truc.