escher y el truco del infinito: matemáticas que lo hacen posible
La obra de escher llamada Galería de grabados (1956) muestra un dibujo que se repite dentro de sí mismo hasta el infinito. Cuando miras la imagen con detalle, la figura se amplía y se deforma, pero mantiene una coherencia visual que permite seguirla paso a paso sin interrupción.
En la escena, un hombre observa grabados en una galería; la imagen se expande y se transforma en los edificios del puerto de Senglea, Malta. Uno de esos edificios resulta ser otra galería de grabados, donde reaparece el protagonista. Así la obra crea una recursión que parece una sola escena que se hunde hacia dentro.
Un programador añadió un shader interactivo que permite detener la imagen, moverse hacia dentro y fuera, y mostrar distintos modos y guías matemáticas. La idea es sencilla: una imagen contiene una copia más pequeña de sí misma hasta el infinito. La gracia no está solo en repetir la imagen, sino en romper la separación entre copias y convertir esa recursión en una espiral continua.
Las matemáticas que hacen posible este efecto son coordenadas polares, logaritmos complejos, exponenciales y transformaciones conformes que conservan la forma local de los pequeños cuadrados. Se cambia el sistema de coordenadas, se gira y se amplía la imagen en ese nuevo espacio, y luego se vuelve al original.
La clave está en cómo se reparte el zoom. Se puede trabajar con una versión sencilla de 16 niveles de autosimilitud de 16 veces; en la obra de escher se puede medir que la copia interna está 256 veces más reducida. Al pasar la imagen al espacio logarítmico, esa reducción deja de ser un zoom y pasa a ser un simple desplazamiento lateral. La periodicidad angular aparece como una repetición vertical de 2π.
De esta forma, una operación que en coordenadas cartesianas sería un poco liosa se convierte en algo bastante más limpio: logaritmo, rotación, escalado y exponencial. El resultado final no solo recrea el efecto visual de escher, sino que también explica por qué su imagen parece una solución elegante a un rompecabezas que, aunque obvio, parecía no tener solución.
¿cómo funciona el truco del infinito?
La obra de escher crea una recursión donde cada copia es más pequeña que la anterior. Al usar coordenadas polares y logaritmos, la reducción se convierte en un desplazamiento lateral, eliminando la sensación de zoom.
las matemáticas detrás del arte
Se aplican transformaciones conformes, rotaciones y escalado para mantener la forma local de los cuadrados. La periodicidad angular de 2π permite que la imagen se repita de forma vertical sin romper la coherencia.
explora el shader interactivo
Con el shader interactivo, puedes detener la imagen y moverte dentro y fuera, viendo distintos modos y guías que ilustran cómo funciona la recursión y la matemática detrás del truco.