escher und der Trick der Unendlichkeit: Mathematik, die es möglich macht
Die Arbeit von Escher Anruf Aufzeichnung der Galerie (1956) zeigt eine Zeichnung, die in sich bis zur Unendlich. Wenn Sie das Bild im Detail betrachten, erweitert und verformt sich die Figur, behält aber eine visuelle Konsistenz, die es Schritt für Schritt ohne Unterbrechung folgen lässt.
In der Szene, ein Mann Uhren in einer Galerie aufgezeichnet; das Bild erweitert und wird die Gebäude des Hafens von Senglea, Malta. Eines dieser Gebäude erweist sich als eine weitere Galerie von Gravuren, wo der Protagonist wieder erscheint. So schafft die Arbeit Rechtsmittel das sieht aus wie ein Szene zu versinken.
Ein Programmierer fügte hinzu Interaktiver Farbton die es erlaubt, das Bild zu stoppen, innen und außen zu bewegen und verschiedene Modi und mathematische Führungen zu zeigen. Die Idee ist einfach: ein Bild enthält eine kleinere Kopie von sich bis zum Unendlich. Gnade ist nicht nur beim Wiederholen des Bildes, sondern beim Brechen der Trennung zwischen den Kopien und dem Drehen dieser Rekursion in eine kontinuierliche Spirale.
Die Mathematik dass dieser Effekt möglich ist Polarkoordinaten, komplexe Logarithmen, exponentiell und Übereinstimmung die die lokale Form der kleinen Quadrate halten. Das Koordinatensystem wird geändert, das Bild wird in diesem neuen Raum gedreht und erweitert, und dann wird es in das Original zurückgegeben.
Der Schlüssel ist, wie der Zoom verteilt wird. Sie können mit einer einfachen Version arbeiten 16 Ebenen der Selbstähnlichkeit 16 mal; in der Arbeit Escher kann gemessen werden, dass die interne Kopie 256 mal reduziert. Durch das Überführen des Bildes in den Raum logarithmischdaß die Reduktion nicht mehr Zoom und es wird eine einfache seitliche Verschiebung. Die Winkelfrequenz erscheint als vertikale Wiederholung 2ü.
Auf diese Weise Betrieb dass es in kartesischen Koordinaten ein wenig glatt wird etwas ganz sauberer: Logarithmus, Drehung, Skalen und exponentiellDas Endergebnis rezitiert nicht nur die visuelle Wirkung Escheraber erklärt auch, warum sein Bild wie eine elegante Lösung für ein Puzzle scheint, obwohl offensichtlich, keine Lösung zu haben.
Wie funktioniert der Trick der Unendlichkeit?
Die Arbeit von Escher erstellen Rechtsmittel wobei jede Kopie kleiner als die vorherige ist. Bei Verwendung Polarkoordinaten und Logarithmen, die Reduktion wird zu einer seitlichen Verschiebung, wodurch das Zoom-Empfinden beseitigt wird.
die Mathematik hinter der Kunst
Sie gelten Übereinstimmung, Rotationen und Skalen die lokale Form der Quadrate zu erhalten. Die Winkelfrequenz von 2ü das Bild vertikal wiederholt werden kann, ohne die Kohärenz zu brechen.
Entdecken Sie den interaktiven Shader
Mit Interaktiver FarbtonDu kannst aufhören Bild und sich in und aus bewegen, verschiedene Wege und Führungen zu sehen, die zeigen, wie die Rechtsmittel und Mathematik hinter dem Trick.